sábado, 2 de marzo de 2013

Continuidad vs Realidad

El otro día mientras resolvía un problema sencillo de cálculo de probabilidades me encontré de repente en un mindfuck del que no he conseguido salir; me ha parecido una oportunidad ideal para enlazar este tema con mi entrada anterior.
El problema consistía en dos amigos que quedaban de encontrarse en algún sitio entre las 5 y las 6 de la tarde. Ambos llegarían en ese intervalo horario pero ninguno de ellos esperaría más de 10 minutos al otro. Calcular las probabilidades de que pudieran encontrarse.

Estos problemas de probabilidades se resuelven de forma geométrica. Se consideran por pares todos los posibles momentos de llegada de cada uno en un intervalo. Cada posibilidad se convierte en un punto en un cuadrado de coordenadas cartesianas. Imponer la condición de los diez minutos te selecciona una porción de ese cuadrado, se calculan las áreas del cuadrado y la porción condicionada, y voilà! tenemos la probabilidad.
El problema es sencillo pero como siempre mi mente es incapaz de llevarme a lugares sencillos tomando la ruta normal, tengo que pasar por el agujero de conejo.
Mi instinto me llevó a considerar de primeras el intervalo [5,6] de números reales, muy bien, pero a la hora de considerar los 10 minutos en este intervalo la chispa habitual interviene y me dice: cuidado! un 10 en ese intervalo no coincide con lo que son 10 minutos de una hora. Consideré 1/6 y solucioné el problema, pero ya había perdido el control. Mi compañero, que es mucho más práctico, consideró directamente el intervalo de los 60 minutos y llegó a la misma solución, como es de prever, sin el problema de la proporción.

¿Cual es la diferencia entonces?

Pues simplemente la coletilla: "minutos".

Empecé a cuestionar su método más práctico: -no estás considerando todos los puntos de forma realista, solo los que coinciden con los minutos, números enteros y a eso no le puedes calcular un área.

Y lo que decía yo es cierto ¿Por qué? La respuesta la da mi entrada anterior: la continuidad de los números reales.

Mi intervalo [5,6] consideraba todos los números reales entre 5 y 6 (ambos incluidos), luego todos los pares representan TODOS y cada uno de los puntos del cuadrado, puntos perfectamente alineados uno al lado del otro de forma que consiguen "densidad"; y eso señores, es "medible" desde un punto de vista matemático, y en lo que a este caso particular se refiere, podemos calcular su área. Si en lugar de una dimensión quisiéramos medir una tendríamos los puntos alineados perfectamente de forma CONTINUA y a eso le podríamos calcular la longitud.
En el caso del intervalo de los 60 minutos todos los pares están dados de la forma: (1,1), (1,5), (40,45), (8,55) ... y así hasta completar todos. Incluso podemos saber cuantos son todos ellos, exactamente 3600 puntos, todos distribuidos de forma homogénea en el cuadrado, pero cada uno de ellos separado del otro por un espacio vacío, sin puntos considerados. El intervalo [5,6] en cambio contiene infinitos puntos, ¿pero qué infinito? pues alef1, el mismo cardinal representado por el total de números reales, sin embargo estamos considerando solo un trozo pequeño de ese total, marea un poco pero es totalmente cierto. El total de puntos en el cuadrado no deja espacios vacíos entre ninguno de ellos, si le lanzamos un dardo infinitamente pequeño siempre acertaremos a un punto (curiosamente la probabilidad de darle a uno en particular es 0, pero de eso hablaré otro dia).
Para arreglar el pseudo-cuadrado (que más bien es como una rejilla) de mi compañero se nos puede ocurrir precisar más: y si consideramos segundos. Muy bien, más puntos. ¿Cuántos? Exactamente 12960000 puntos. Son muchos puntos, pero a eso aún no se le puede calcular un área, sigue habiendo espacio vacío entre ellos. Bueno pues tomamos nanosegundos. Ahora son muchísimos puntos más, y no me pienso dar la molestia de calcularlos y llenar esto de números, pero esa cantidad, a pesar de ser muy grande, es FINITA. Y aquí está el meollo del asunto, por mucho que precisemos en las medidas, y consideremos fracciones cada vez más precisas, siempre tendremos una cantidad de puntos contable, y siempre habrá espacios vacíos.

Nuestra forma de medir está basada en fracciones, números racionales. Cogemos la unidad de lo que sea (por ej. el metro) y lo dividimos en 10 cachitos, y tenemos más precisión, y lo podemos volver a dividir y dividir, que es precisamente el proceso de construcción de los números racionales, y acercarnos a la realidad más y más y más, pero SIEMPRE condicionados por lo finito. 
Pero, ¿qué pasa si hacemos lo mismo infinitas veces? 
Pues que tampoco alcanzamos la continuidad! Misteriosamente siguen quedando espacios vacíos. La diferencia que separa ese nivel de precisión entre nuestra "medida" (aunque llegáramos hasta el infinito) y la medida en el sentido matemático es la misma que separa alef0 de alef1, que es mucha. Lo curioso es que los matemáticos no consideran los espacios discontinuos "medibles". La teoría de por qué es bastante abstrusa pero entran en juego conceptos como los de que un punto solitario no tiene dimensión. Un grupo de puntos tampoco consigue dimensión dejando espacios vacíos entre ellos, pero si se arrejuntan infinitos puntos lo suficiente para reventar esos espacios vacíos, el grupo de puntos se transforma en un intervalo, y conseguimos la continuidad.

En un intervalo continuo (lo mismo si consideramos toda la recta) se pierden conceptos como el de "siguiente". Si consideramos los números enteros todo el mundo afirmaría que el siguiente del 1 es el 2, y aciertan, porque eso es posible en los enteros, pero en los números racionales eso ya no es cierto; sin embargo tenemos formas de alinear todos los racionales (Cantor dio una) y "ordenarlos" de forma que podamos decidir quien es el siguiente a un número. Puedo decir, y quedarme tan pancho, que el siguiente del 2/7 es el 1/8, pero no me alargaré con esa explicación.
En los números reales el concepto de "siguiente" simplemente ya no existe. No existe el siguiente del uno, porque simplemente no existe manera de decidir cual es, como en los casos anteriores. Esto provoca cosas extrañas, como que 0.9999...=1, osea que 0.9 periódico se corresponde con el 1. De hecho cualquier número entero tiene un gemelo malvado periódico, vamos que puede ser representado por su análogo decimal periódico de la izquierda, no obstante esto no es posible por la derecha, curiosamente.

La pregunta que yo me hago ahora es donde queda entonces la realidad. ¿Es continua la realidad? Desde luego desde el punto de vista matemático debería serlo para que podamos "medirla", o digamos, asignar valores a magnitudes (altura, peso, masa, fuerza...). Veo una extraña paradoja en esto porque en el momento en el que los físicos introducen las magnitudes el concepto de continuidad se rompe. Cuando a un número, sea el que sea, le ponemos al lado "minutos", o "gramos", se muda de conjunto y pasa de los reales a los racionales, donde los conjuntos dejan de ser medibles. ¿¿Cómo se interpreta decir pi centimetros?? Puede que la realidad sea continua y el problema sea nuestra comprensión de esta. Sin embargo el sueño físico parece ser que todo sea cuantificable, donde sea que estén los cuantos han de estar ahí. Pero si están realmente ¿quiere decir esto que la realidad es discontinua? Podríamos pensar que si, saltando de cuanto en cuanto sobre el espacio entre ellos, o podemos pensar que dado un cuanto no se puede determinar los que hay a su alrededor como pasa con los números reales. Incluso podríamos dar un salto de complejidad e incluir los números imaginarios a la realidad (cosa que no es tan descabellada como suena) y mandar a paseo nuestra visión de las cosas.

Sea como sea el problema de cálculo de probabilidades daba la misma solución sin importar como se planteara, y por aquí pueden ir las respuestas a tanta pregunta, porque todo parece indicar que a pesar de los galimatías lógicos que a veces provoca esta carrera, algo hacemos bien para conseguir acertar con las precisiones, y esto debería ser lo más importante.


Como punto final dejo lo que fue el gran legado de Cantor sobre el tema del infinito; algún día me atreveré a hablar sobre ello.
Todas las cantidades (1,4,89...) representan el cardinal de algún conjunto que tiene ese número de elementos. Los números transfinitos de Cantor (alef0, alef1,...) representan los cardinales de los conjuntos infinitos. Antes de morir dejó la siguiente pregunta: ¿Existe algún conjunto cuyo cardinal se encuentre exactamente entre alef0 y alef 1? Una cuestión que sigue provocando migrañas a los matemáticos hoy en día, y sin duda seguirá.